En las clases de matemáticas, suelo recalcar la importancia de las posiciones relativas de la recta y el plano. Al ser una temática que causa dificultad a más de un alumno, voy a explicarla con detalle a continuación.
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Una recta en el espacio, que pasa por un punto P y tiene como vector director v, puede venir definida por ecuaciones paramétricas, ecuación continua y por ecuaciones reducidas (Intersección de dos planos)
r( P, v) P( x1, y1, z1) v( v1, v2, v3)
Ecuaciones paramétricas
- x = x1 + t. v1
- y = y1 + t. v2
- z = z1 + t. v3
Ecuación continua
- (x - x1) / v1 = (y - y1) / v2 = (z - z1) / v3
Ecuaciones reducidas
- Ax + By + C = 0
- A´x + B´y + C´= 0
POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO
1) Se cortan en un punto.
Al resolver el sistema formado por la recta y el plano, se obtendrá una sola solución.
Ejemplo
La recta r viene dada por:
- x = -1 - 2t
- y = 2 + 3t
- z = - 3 + t
El plano viene dado por:
- - 2x + 3y + z + 9 = 0
Resolvemos el sistema sustituyendo en la ecuación del plano, las ecuaciones de la recta
- 2(- 1 - 2t) + 3( 2 + 3t) + (-3 + t) + 9 = 0 implica 2 + 4t + 6 + 9t - 3 + t + 9 = 0 implica
14t = -14 implica t = - 1
Al ser t = - 1 único valor, la recta corta en un punto al plano. Sistema compatible determinado. Se consigue este punto sustituyendo t = -1 en las ecuaciones de la recta.
x = - 1 -2(- 1) = 1, y = 2 + 3(- 1) = - 1, z = - 3 - 1 = - 4 P( 1, - 1, 4)
2) La recta es paralela al plano.
Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la del plano, nos sale un absurdo.
Ejemplo
La recta viene dada por:
- x = 3 + 2t
- y = 4 + 3t
- z = - 1 + t
El plano viene dado por:
- x + y - 5t + 10 = 0
Resolvemos sustituyendo la recta en el plano y nos queda:
3 + 2t + 4 + 3t - 5(- 1 + t) + 10 = 0 implica 3 + 2t + 4 + 3t + 5 - 5t + 10 = 0 implica
22 = 0 ABSURDO. Sistema incompatible. La recta es paralela al plano.
3) La recta está contenida en el plano
Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la del plano, sale una trivialidad. El sistema es compatible indeterminado.
Ejemplo
La recta viene dada por:
- x = 1 - t
- y = - 2 + t
- z = 3 + 2t
El plano es:
- x - y + z - 6 = 0
Resolvemos el sistema:
1 - t + 2 - t + 3 + 2t - 6 = 0 implica 0 = 0 TRIVIALIDAD
La recta está contenida en el plano.
Ejercicio 1. Hallar la posición relativa de la recta r
- x = 1 + 2t
- y = - 1 - t
- z = 3t
y el plano 4x + 5y - z -7 = 0
Solución: Recta paralela al plano.
Ejercicio 2. Hallar la posición relativa de la recta r
- x = -1 - 2t
- y = 2 + 3t
- z = -3 + t
y el plano 2x - 3y - z - 9 = 0
Solución: Se cortan en el punto P(1, -1, - 4)
